+7-952-566-00-35 (WhatsApp, Viber, Telegram) Почта zakaz@5all.ru ICQ 212 253 054

Математика вариант 6 ТОГУ контрольная работа 2

300.00 руб.
Артикул:  10454
Кол-во:  

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тихоокеанский государственный университет»

 

Кафедра «Эксплуатация автомобильного транспорта»

Специальность 190700.62 «Организация перевозок и управление на транспорте (Технология транспортных процессов)»

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Высшая математика»

 

Вариант 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент ЗФ(УО ДОТ)

группы:  ОП (б) зу - 22

первого  года обучения

____________________________

 

 

 

 

 

Хабаровск 2012  г.


Контрольная работа по математике (2 семестр)

 

Вариант 6

 

Задание 1. Найти неопределенные интегралы. В пп. а) и б)результаты проверить дифференцированием.

 

а)

 

 

Проверка:

 

Ответ.

 

 

б)

 

Проверка:

 

Ответ.

в)

Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.

 

Таким образом, .

Получаем

 

Ответ.

 

 

г)

 

Ответ.

 

 

 

 

Задание 2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

Ответ. Несобственный интеграл расходится.

 

 

 

Задание 3. Вычислить объем  фигуры вращения, определяемой линиями: .

Решение.

Построим фигуру. Для этого найдем координаты точек пересечения параболы  и прямой .

Ветви параболы направлены вниз. Определим координаты вершины параболы.

.

Точка  - вершина параболы.

 

Используем свойство аддитивности объема. Тогда , где  - объем конуса, образованного вращением вокруг оси отрезка прямой  (),  - объем тела, образованного вращением вокруг оси  дуги параболы  ().

Применим формулу .

.

 

 

 

Ответ.

 

 

Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка.

Решение.

Получено линейное дифференциальное уравнение I порядка. Применяем подстановку:

(1):   

        

 

(2):

        

 

Получаем .

Ответ. .

 

 

 

Задание 5. Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка.

.

Решение.

Применим подстановку . Получим дифференциальное уравнение I порядка

.

Рассмотрим функцию двух переменных .

 функция  является однородной нулевого порядка.

Применим подстановку .  Получим

 

 

 

 

 

Ответ. .

 

 

 

Задание 6. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.

Найдем общее решение соответствующего однородного линейного уравнения.

.

Составляем характеристическое уравнение.

Фундаментальный набор решений однородного линейного уравнения образуют функции . Их линейная комбинация является общим решением однородного линейного уравнения.

.

Правая часть неоднородного линейного уравнения является суммой двух функций  и . Тогда частное решение неоднородного линейного уравнения .  Осуществим подбор решений  по виду функций  соответственно. Каждая из функций  является функцией вида . Следовательно, функции  будем искать в виде , где ,  - кратность корня характеристического уравнения .

 получаем  - корень первой кратности

 .

.

Подставим функцию  и ее производные в дифференциальное уравнение с правой частью . Получим

.

 

 получаем  - корень нулевой кратности   

  .

.

Подставим функцию  и ее производные в дифференциальное уравнение с правой частью . Получим

 

Таким образом, .

Общее решение неоднородного линейного уравнения находим как сумму  и .

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

 

Получим систему линейных уравнений

 

Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид .

Ответ. .

 

 

 

 

Задание 7. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение.

Сходимость числового ряда исследуем с помощью интегрального признака сходимости. Вычислим несобственный интеграл

Несобственный интеграл сходится, следовательно, числовой ряд сходится.

 

Ответ. Числовой ряд сходится по интегральному признаку сходимости.

 

 

 

 

 

Задание 8. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение.

Пусть  - фиксированное. Тогда получим числовой ряд, сходимость которого исследуем с помощью предельного радикального признака Коши.

.

При вычислении предела возникла неопределенность вида .

Пусть .

 

Получили .

Таким образом, .

По радикальному признаку Коши ряд сходится, если .

Тогда степенной ряд будет сходиться на множестве .

Ответ.  - интервал сходимости степенного ряда.

 

 

 

 

Задание 9. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд.

Решение.

Разложение в степенной ряд функции  имеет вид

Тогда

 

 

Получили знакочередующийся числовой ряд. Для достижения заданной точности  ограничимся теми членами ряда, для которых .

Таким образом, для достижения заданной точности можно ограничиться первыми четырьмя членами ряда. Получаем

Ответ. .

 

 

 

 

Задание 10. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Решение.

Пусть функция  является решением данного дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальному условию. Разложение функции  степенной ряд в окрестности точки  имеет вид

Таким образом, .

Ответ. .

 

 

Яндекс.Метрика Анализ сайта www.5all.ru